Théorème de Taylor
Celui qui partage avec la fonction sa valeur et ses dérivées successives en ce point : f(a) + f'(a)(x − a) + f''(a)/2! (x − a)² + …, le polynôme de Taylor. Pour l'exponentielle en 0, toutes les dérivées valent 1 : 1 + x + x²/2 + x³/6, qui donne 2,667 en x = 1, là où e vaut 2,718.
Celui qui partage avec la fonction sa valeur et ses dérivées successives en ce point : f(a) + f'(a)(x − a) + f''(a)/2! (x − a)² + …, le polynôme de Taylor. Pour l'exponentielle en 0, toutes les dérivées valent 1 : 1 + x + x²/2 + x³/6, qui donne 2,667 en x = 1, là où e vaut 2,718.
Un reste que la formule de Taylor-Lagrange écrit exactement : f^(n+1)(ξ)/(n + 1)! × (x − a)^(n+1), pour un certain ξ strictement compris entre a et x. Si la dérivée d'ordre n + 1 est majorée par M, l'erreur est majorée par M|x − a|^(n+1)/(n + 1)!. Pour e approché par 1 + 1 + 1/2 + 1/6 = 8/3, cette borne vaut 3/24 = 0,125 ; l'erreur réelle est 0,052.
Joseph-Louis Lagrange, en 1799, dans ses Leçons sur le calcul des fonctions. Brook Taylor avait publié la formule en 1715 sans se préoccuper du reste, et pendant tout le XVIIIe siècle les mathématiciens ne distinguent pas développement limité et série entière. Selon Peano, Jean Bernoulli avait même donné une formule équivalente dès 1694.