Limite
Vers rien de cohérent : +∞ si x arrive par la droite, −∞ s'il arrive par la gauche. La fonction inverse n'a donc pas de limite en 0, seulement une limite à droite et une limite à gauche, différentes. Loin de 0, l'histoire est simple : quand x tend vers +∞ ou vers −∞, 1/x tend vers 0.
Vers rien de cohérent : +∞ si x arrive par la droite, −∞ s'il arrive par la gauche. La fonction inverse n'a donc pas de limite en 0, seulement une limite à droite et une limite à gauche, différentes. Loin de 0, l'histoire est simple : quand x tend vers +∞ ou vers −∞, 1/x tend vers 0.
Parce qu'aucune règle ne donne le résultat : tout dépend de la façon dont numérateur et dénominateur s'approchent de 0. Dans ((a + x)² − a²)/x, les deux tendent vers 0 quand x tend vers 0, mais le quotient vaut 2a + x et tend vers 2a. Avec (cos x − 1)/x, la limite est 0. On compte sept formes indéterminées : 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞, 0^0, +∞^0 et 1^±∞.
Pas avec la définition en vigueur en France : si f est définie en a et admet une limite en a, cette limite vaut f(a), et avoir une limite finie en a équivaut à y être continue. La définition historique de Weierstrass, dite limite épointée, ne regarde que les x différents de a et autorise une limite distincte de f(a). Elle survit dans certaines universités et à l'étranger.