Limite d'une suite
Ses termes 1, 1/2, 1/3, 1/4… se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre. À partir de n = 1 001, ils sont tous plus petits que 0,001 ; à partir de n = 1 000 001, tous plus petits que 0,000001. Aucun seuil ne leur résiste : on dit que la suite converge vers 0, et 0 est sa limite.
Ses termes 1, 1/2, 1/3, 1/4… se rapprochent de 0 sans jamais l'atteindre. À partir de n = 1 001, ils sont tous plus petits que 0,001 ; à partir de n = 1 000 001, tous plus petits que 0,000001. Aucun seuil ne leur résiste : on dit que la suite converge vers 0, et 0 est sa limite.
Pas toujours. Diverger signifie seulement ne pas avoir de limite réelle. La suite 1, −2, 4, −8, 16, −32… de raison −2 n'est pas bornée et ne tend ni vers +∞ ni vers −∞. La suite 1, −1, 1, −1… reste bornée et n'a pas de limite non plus. Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée ne converge pas forcément.
Dans les Éléments d'Euclide, proposition X.1 : si de la plus grande de deux grandeurs on retranche plus que la moitié, puis du reste plus que la moitié, et ainsi de suite, on passe sous la plus petite. C'est une suite vérifiant u(n+1) < u(n)/2, dont les termes finissent sous tout seuil e > 0. Archimède en tire la méthode d'exhaustion ; la formalisation attend 1 600 ans.