Fonction carré
Par la règle des signes : x × x est le produit de deux nombres de même signe. (−3) × (−3) = 9, exactement comme 3 × 3. La fonction carré ne prend donc jamais de valeur négative, et sa courbe, une parabole, reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, avec son sommet au point (0, 0).
Par la règle des signes : x × x est le produit de deux nombres de même signe. (−3) × (−3) = 9, exactement comme 3 × 3. La fonction carré ne prend donc jamais de valeur négative, et sa courbe, une parabole, reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, avec son sommet au point (0, 0).
Tout dépend du signe. Sur [0, +∞[ la fonction carré est croissante : 2 < 3 donne 4 < 9. Sur ]−∞, 0] elle est décroissante : −3 < −2 donne 9 > 4, l'inégalité se retourne. Sa dérivée 2x est négative à gauche de 0 et positive à droite, et 0 est son minimum global.
Exactement, parce qu'elle l'est pour tout polynôme quadratique. Sur [a, b], Simpson donne (b − a)/6 × (f(a) + 4f((a + b)/2) + f(b)), ce qui, pour f(x) = x², se réduit à (b − a)/3 × (a² + ab + b²). Entre 0 et 3, cela fait 3/3 × 9 = 9 : la valeur exacte de la primitive x³/3 en 3. Aucune approximation, même en une seule étape.