Dérivabilité
Le taux d'accroissement (f(a + h) − f(a))/h, dont on cherche la limite quand h tend vers 0. Si cette limite est un nombre réel, la fonction est dérivable en a et ce nombre est sa dérivée. Pour f(x) = x² en a = 3 : ((3 + h)² − 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h, qui tend vers 6. La fonction carré est donc dérivable en 3, de nombre dérivé 6.
Le taux d'accroissement (f(a + h) − f(a))/h, dont on cherche la limite quand h tend vers 0. Si cette limite est un nombre réel, la fonction est dérivable en a et ce nombre est sa dérivée. Pour f(x) = x² en a = 3 : ((3 + h)² − 9)/h = (6h + h²)/h = 6 + h, qui tend vers 6. La fonction carré est donc dérivable en 3, de nombre dérivé 6.
Non. Sa courbe admet bien une tangente au point d'abscisse 0, mais verticale, parallèle à l'axe des ordonnées. Le taux d'accroissement √h/h = 1/√h tend vers +∞, pas vers un réel. Être dérivable, c'est avoir une tangente non verticale : une pente finie. La fonction est pourtant continue en 0.
Oui : la dérivée symétrique, dite dérivée selon Schwarz, limite de (f(a + h) − f(a − h))/2h quand h tend vers 0. Pour la valeur absolue en 0, (|h| − |−h|)/2h vaut 0 quel que soit h : la dérivée symétrique existe et vaut 0. Toute fonction dérivable l'est selon Schwarz, avec la même valeur, mais la réciproque est fausse, et cette dérivée n'exige même pas la continuité au point.