Théorème de Rolle
Sa dérivée s'annule au moins une fois entre-temps : quelque part, la tangente à la courbe est horizontale. C'est le théorème de Rolle. Pour f(x) = x² − 3x sur [0, 3], f(0) = f(3) = 0, et la dérivée 2x − 3 s'annule en x = 1,5, au creux de la parabole.
Sa dérivée s'annule au moins une fois entre-temps : quelque part, la tangente à la courbe est horizontale. C'est le théorème de Rolle. Pour f(x) = x² − 3x sur [0, 3], f(0) = f(3) = 0, et la dérivée 2x − 3 s'annule en x = 1,5, au creux de la parabole.
À deux résultats. Le théorème des bornes : une fonction continue sur [a, b] atteint un maximum et un minimum. Le théorème de Fermat sur les points stationnaires : en un extremum intérieur, la dérivée est nulle. Si f n'est pas constante, l'un des deux extremums est strictement entre a et b, puisque f(a) = f(b) ; si f est constante, sa dérivée est nulle partout.
Une méthode purement algébrique pour encadrer les racines d'un polynôme. Rolle multiplie chaque coefficient par le degré correspondant et obtient une « cascade » : pour (y − 6)(y − 21)(y − 30), la cascade 3y(y − 12)(y − 26) a pour racines 12 et 26, qui séparent 6, 21 et 30. Le calcul infinitésimal de Newton et Leibniz révélera que la cascade est, au facteur y près, la dérivée.