Logarithme népérien
Une addition : ln(x × y) = ln(x) + ln(y). Une division devient une soustraction, et une puissance une multiplication : ln(a^r) = r × ln(a). Comme ln(e) = 1, on obtient ln(e³) = 3 et ln(1/e) = −1 sans rien calculer. C'est ce qui rendait les logarithmes si précieux : produits, quotients et racines se ramenaient à des sommes.
Une addition : ln(x × y) = ln(x) + ln(y). Une division devient une soustraction, et une puissance une multiplication : ln(a^r) = r × ln(a). Comme ln(e) = 1, on obtient ln(e³) = 3 et ln(1/e) = −1 sans rien calculer. C'est ce qui rendait les logarithmes si précieux : produits, quotients et racines se ramenaient à des sommes.
L'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales x = 1 et x = a. Le logarithme népérien est la primitive de x ↦ 1/x qui s'annule en 1. D'où ses propriétés : dérivée 1/x, donc strictement croissant ; dérivée décroissante, donc concave ; tangente de pente 1 au point (1, 0). Jusqu'au XXe siècle, on l'appelait logarithme hyperbolique.
Presque rien. Napier a établi les premières tables de logarithmes, mais ce ne sont pas des tables de logarithmes népériens. L'origine est datée de 1647, quand Grégoire de Saint-Vincent, travaillant à la quadrature de l'hyperbole, montre que l'aire obtenue vérifie l'additivité des logarithmes, sans voir le lien avec Napier. Son disciple Alphonse de Sarasa l'établit en 1649.