Fonction affine
Une fonction affine. Avec un abonnement mensuel A et 0,10 € par minute, la facture pour x minutes vaut A + 0,1x : la forme ax + b, avec a = 0,1 et b = A. Le graphique est une droite. Chaque minute ajoute 0,10 €, et l'abonnement fixe l'ordonnée à l'origine.
Une fonction affine. Avec un abonnement mensuel A et 0,10 € par minute, la facture pour x minutes vaut A + 0,1x : la forme ax + b, avec a = 0,1 et b = A. Le graphique est une droite. Chaque minute ajoute 0,10 €, et l'abonnement fixe l'ordonnée à l'origine.
En divisant l'écart des ordonnées par l'écart des abscisses : a = (y2 − y1)/(x2 − x1). Pour les points (1, 3) et (3, 7), a = 4/2 = 2, puis b = y1 − a × x1 = 3 − 2 = 1, d'où f(x) = 2x + 1. Le taux d'accroissement d'une fonction affine est constant : c'est sa propriété caractéristique.
Parce qu'il suffit de prendre 0 comme second point. Si f(x1) − f(x2) = a(x1 − x2) pour tous réels x1 et x2, alors avec x2 = 0 on obtient f(x1) − f(0) = a × x1, soit f(x) = ax + f(0) : la forme ax + b, avec b = f(0). La réciproque se vérifie en développant ax2 + b − ax1 − b. La proportionnalité des accroissements caractérise donc exactement les fonctions affines.