Droite
Tout. AB est un nombre, la longueur du segment [AB], tandis que (AB) est la droite qui passe par A et B, illimitée des deux côtés et sans épaisseur. Les parenthèses sont donc obligatoires. Une droite se nomme aussi par une lettre, d, D, δ ou Δ, ou par un point et un vecteur qui la dirige, (A, u).
Tout. AB est un nombre, la longueur du segment [AB], tandis que (AB) est la droite qui passe par A et B, illimitée des deux côtés et sans épaisseur. Les parenthèses sont donc obligatoires. Une droite se nomme aussi par une lettre, d, D, δ ou Δ, ou par un point et un vecteur qui la dirige, (A, u).
En croisant les deux premiers coefficients : le vecteur de coordonnées (−b ; a) dirige la droite. Pour 2x − 3y + 1 = 0, c'est (3 ; 2) ; les points (1 ; 1) et (4 ; 3) sont bien sur la droite, et leur écart vaut (3 ; 2). Une seule condition : (a ; b) ne doit pas être le couple nul, sinon l'équation ne décrit plus rien.
Une seule en géométrie euclidienne : c'est l'énoncé moderne du cinquième postulat d'Euclide, déjà repéré par Proclus. Mais au moins deux en géométrie hyperbolique, et aucune en géométrie elliptique, où les droites sont les grands cercles d'une sphère et se coupent toujours. Hilbert a montré que les quatre premiers postulats sont trop faibles pour imposer le cinquième.