Espace euclidien
Avec un produit scalaire. Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire : la norme d'un vecteur est la racine carrée de son produit scalaire par lui-même, et la distance entre deux vecteurs est la norme de leur différence. Dans ℝ³, la norme de (1 ; 2 ; 2) vaut √(1 + 4 + 4) = 3, et la recette est la même en dimension 10.
Avec un produit scalaire. Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire : la norme d'un vecteur est la racine carrée de son produit scalaire par lui-même, et la distance entre deux vecteurs est la norme de leur différence. Dans ℝ³, la norme de (1 ; 2 ; 2) vaut √(1 + 4 + 4) = 3, et la recette est la même en dimension 10.
Par la règle du parallélogramme : une norme est euclidienne si et seulement si ‖x + y‖² + ‖x − y‖² = 2(‖x‖² + ‖y‖²) pour tous vecteurs x et y. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan. Le produit scalaire se retrouve alors par une identité de polarisation, comme ⟨x, y⟩ = (‖x + y‖² − ‖x − y‖²)/4.
Oui, à une homothétie près. Si un sous-groupe G de GL(V) est isomorphe, comme groupe topologique, au groupe orthogonal O(n), alors G est le groupe orthogonal d'un produit scalaire sur V, unique à un facteur près : multiplier le produit scalaire par un réel non nul ne change pas ses isométries. L'existence est le point profond ; l'unicité se lit sur les sphères.