Produit scalaire
En calculant leur produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Dans une base orthonormée, il se calcule avec les coordonnées : x1 × y1 + x2 × y2. Pour (3 ; 2) et (−2 ; 3), cela donne 3 × (−2) + 2 × 3 = −6 + 6 = 0 : les deux vecteurs sont orthogonaux.
En calculant leur produit scalaire : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Dans une base orthonormée, il se calcule avec les coordonnées : x1 × y1 + x2 × y2. Pour (3 ; 2) et (−2 ; 3), cela donne 3 × (−2) + 2 × 3 = −6 + 6 = 0 : les deux vecteurs sont orthogonaux.
À l'angle entre les vecteurs. Le produit scalaire de OA et OB vaut OA × OB × cos(AOB) : positif quand l'angle est aigu, nul quand il est droit, négatif quand il est obtus, le cosinus étant alors négatif. Vu par projection : si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), le produit scalaire de AB et AC vaut AB × AH, ou −AB × AH lorsque A se trouve entre H et B.
Sur les fonctions continues par morceaux. Sur l'espace des fonctions continues de [a ; b] dans ℝ, associer à f et g l'intégrale de f × g définit un produit scalaire. En admettant des fonctions continues par morceaux, la forme reste positive mais n'est plus définie : (f | f) = 0 implique seulement que f est nulle sauf en ses points de discontinuité.