Espace vectoriel
On peut les additionner entre eux et les multiplier par un nombre sans jamais sortir de l'ensemble : (1 ; 2) + (3 ; 4) = (4 ; 6), et 2 × (1 ; 2) = (2 ; 4). Tout ensemble muni de ces deux opérations, avec les règles de calcul habituelles, est un espace vectoriel, et ses éléments s'appellent des vecteurs, qu'ils soient flèches, tableaux de nombres ou fonctions.
On peut les additionner entre eux et les multiplier par un nombre sans jamais sortir de l'ensemble : (1 ; 2) + (3 ; 4) = (4 ; 6), et 2 × (1 ; 2) = (2 ; 4). Tout ensemble muni de ces deux opérations, avec les règles de calcul habituelles, est un espace vectoriel, et ses éléments s'appellent des vecteurs, qu'ils soient flèches, tableaux de nombres ou fonctions.
Il suffit qu'elle soit libre, ou qu'elle soit génératrice : en dimension n, elle est alors automatiquement les deux. Une famille libre compte au plus n vecteurs, une famille génératrice au moins n, et toutes les bases en comptent exactement n, ce qui est la définition même de la dimension.
La commutativité de l'addition : elle se déduit des autres en développant (1 + 1) × (u + v) de deux façons, ce qui donne u + u + v + v = u + v + u + v, puis u + v = v + u après simplification. L'axiome 1 × u = u, lui, ne peut pas être retiré : la loi λ × u = 0 pour tout λ vérifie tous les autres axiomes sans faire un espace vectoriel.