Groupe symétrique
Six : l'identité, les trois symétries par rapport aux médianes, et deux rotations d'un tiers de tour, dans un sens ou dans l'autre. Chacun permute les trois sommets A, B, C, et ces six permutations forment le groupe symétrique de {A, B, C}. Avec n objets, il y a n! permutations : 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
Six : l'identité, les trois symétries par rapport aux médianes, et deux rotations d'un tiers de tour, dans un sens ou dans l'autre. Chacun permute les trois sommets A, B, C, et ces six permutations forment le groupe symétrique de {A, B, C}. Avec n objets, il y a n! permutations : 3! = 3 × 2 × 1 = 6.
Parce que composer par une transposition t fixée envoie chaque permutation paire sur une impaire, et réciproquement, sans perte : c'est une bijection entre les deux camps. Les permutations paires forment le groupe alterné Aₙ, noyau de la signature, sous-groupe d'indice 2 de Sₙ, donc d'ordre n!/2 : 60 éléments pour n = 5.
C'est le seul dont le groupe des automorphismes extérieurs n'est pas trivial : il est d'ordre 2. Du coup S₆ possède un sous-groupe d'indice 6 transitif, sans point fixe, alors que pour tout autre n, un sous-groupe d'indice n de Sₙ est le stabilisateur d'un point. Sₙ est complet, centre trivial et automorphismes tous intérieurs, pour tout n autre que 2 et 6.