Système linéaire
En additionnant les deux lignes : les y s'annulent et il reste 4x = 8, donc x = 2, puis y = 3 grâce à la première équation. Le couple (2 ; 3) est la seule solution du système : sur un dessin, c'est le point où les deux droites se croisent.
En additionnant les deux lignes : les y s'annulent et il reste 4x = 8, donc x = 2, puis y = 3 grâce à la première équation. Le couple (2 ; 3) est la seule solution du système : sur un dessin, c'est le point où les deux droites se croisent.
Zéro, une ou une infinité, jamais deux. Chaque équation dessine une droite : sécantes, un point ; parallèles distinctes, aucun ; confondues, une infinité. Le déterminant ad − bc tranche : le système ax + by = e, cx + dy = f a une solution unique si et seulement s'il est non nul. Pour 4x + 2y = −1 et 3x − y = 2, il vaut −4 − 6 = −10, d'où l'unique couple (0,3 ; −1,1).
Jamais : Ax = 0 admet toujours la solution nulle, où toutes les inconnues valent 0. La vraie question est de savoir si elle est seule. Avec strictement moins d'équations que d'inconnues, il y en a une infinité. Pour des équations indépendantes à n inconnues, le compte décide : plus de n équations, aucune solution ; n exactement, une seule ; moins de n, une infinité.