Théorème fondamental de l'algèbre
Oui, si on les cherche parmi les nombres complexes et qu'on compte chaque racine avec sa multiplicité. Le théorème fondamental de l'algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine. Factorisé racine après racine, un polynôme de degré n devient un produit de n facteurs de degré 1.
Oui, si on les cherche parmi les nombres complexes et qu'on compte chaque racine avec sa multiplicité. Le théorème fondamental de l'algèbre affirme que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine. Factorisé racine après racine, un polynôme de degré n devient un produit de n facteurs de degré 1.
En deux trinômes : X⁴ + 4 = (X² − 2X + 2)(X² + 2X + 2). Sur les complexes, 1 + i est racine de X⁴ + 4, donc son conjugué 1 − i aussi, et (X − 1 − i)(X − 1 + i) = X² − 2X + 2 a des coefficients réels. Le théorème garantit que ce regroupement par paires conjuguées aboutit toujours : sur les réels, les seuls irréductibles sont de degré 1, ou de degré 2 à discriminant négatif.
Quatre fois : en 1799, 1815, 1816 et 1849. Sa thèse de 1799 reproche à Euler et Lagrange de supposer d'emblée l'existence des n racines, mais sa propre preuve, géométrique, reste incomplète : la lacune n'est comblée qu'en 1920 par Ostrowski. Entre-temps, en 1814, un amateur suisse, Jean-Robert Argand, publie une preuve solide et simple, bâtie sur le canevas de d'Alembert.