Racine de l'unité
Trois, et non un seul. Parmi les réels, 1 est le seul nombre dont le cube vaut 1. Mais z³ − 1 = (z − 1)(z² + z + 1), et z² + z + 1 = 0 a deux solutions complexes, (−1 + i√3)/2 et (−1 − i√3)/2. Ces trois racines cubiques de l'unité sont sur le cercle de rayon 1 et forment un triangle équilatéral. Plus généralement, z^n = 1 a exactement n solutions complexes.
Trois, et non un seul. Parmi les réels, 1 est le seul nombre dont le cube vaut 1. Mais z³ − 1 = (z − 1)(z² + z + 1), et z² + z + 1 = 0 a deux solutions complexes, (−1 + i√3)/2 et (−1 − i√3)/2. Ces trois racines cubiques de l'unité sont sur le cercle de rayon 1 et forment un triangle équilatéral. Plus généralement, z^n = 1 a exactement n solutions complexes.
Zéro, toujours. Les n racines s'écrivent e^(2iπk/n) pour k de 0 à n − 1 : ce sont les puissances successives de ω = e^(2iπ/n), et 1 + ω + ω² jusqu'à ω^(n−1) est la somme d'une progression géométrique de raison ω ≠ 1, égale à (ω^n − 1)/(ω − 1) = 0. Pour n = 4, cela se lit directement : 1 + i − 1 − i = 0.
En regroupant les racines cinquièmes de l'unité deux par deux. Avec ω = e^(2iπ/5), on pose P = ω + ω^4 = 2 cos(2π/5) et Q = ω² + ω³ = 2 cos(4π/5). Comme 1 + ω + ω² + ω³ + ω^4 = 0, on a P + Q = −1, et le développement de PQ donne −1 aussi : P et Q sont les racines de X² + X − 1 = 0. D'où cos(2π/5) = (√5 − 1)/4.