Nombre complexe
À quoi peut bien servir un nombre dont le carré vaut moins un ?
À décrire tout ce qui tourne : un nombre complexe encode d'un coup une longueur et un angle, si bien qu'une multiplication devient une rotation.
MathsAlgèbre
Les trois niveaux
Débutant
À quoi peut bien servir un nombre dont le carré vaut moins un ?
À décrire tout ce qui tourne : un nombre complexe encode d'un coup une longueur et un angle, si bien qu'une multiplication devient une rotation.
Intermédiaire
Pourquoi dit-on que multiplier par i fait tourner d'un quart de tour ?
Parce que multiplier deux fois par i revient à multiplier par −1, c'est-à-dire à faire demi-tour. La seule opération qui, répétée, donne un demi-tour, est un quart de tour. La géométrie du plan impose donc à i sa place : sur l'axe vertical, à une unité de l'origine.
Expert
Que perd-on exactement en passant des réels aux nombres complexes ?
L'ordre. Aucune relation « plus petit que » compatible avec l'addition et la multiplication n'existe sur les complexes : dire que i est positif ou négatif mène dans les deux cas à une contradiction. On gagne la clôture algébrique et l'on paie en comparabilité.