Formule du binôme de Newton
Huit, un pour chaque exposant de y, de 0 à 7. Les coefficients valent 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 : le terme en x^4 y³ est 35x^4y³, celui en xy^6 est 7xy^6. C'est la formule du binôme de Newton : le développement de (x + y)^n compte toujours n + 1 termes, et ses coefficients se lisent en miroir.
Huit, un pour chaque exposant de y, de 0 à 7. Les coefficients valent 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 : le terme en x^4 y³ est 35x^4y³, celui en xy^6 est 7xy^6. C'est la formule du binôme de Newton : le développement de (x + y)^n compte toujours n + 1 termes, et ses coefficients se lisent en miroir.
D'un dénombrement. Développer (x + y)^7, c'est multiplier sept parenthèses (x + y) en choisissant dans chacune soit x, soit y. Le monôme x^4 y³ apparaît chaque fois que y est retenu dans exactement 3 parenthèses sur 7, et il y a « 3 parmi 7 » = 7! / (3! × 4!) = 35 façons de les désigner. Le coefficient de x^(n−k) y^k est donc toujours le coefficient binomial « k parmi n ».
Pas pour les exposants entiers. Elle est connue dès le Xe siècle des mathématiciens indiens, avec Halayudha, puis arabes et perses, avec Al-Karaji, et le Chinois Yang Hui la démontre indépendamment au XIIIe siècle. L'apport de Newton date de 1665 : l'étendre aux exposants non entiers.