Déterminant
Avec un déterminant. Si deux côtés sont portés par les vecteurs (x, y) et (x', y'), le nombre xy' − yx' a pour valeur absolue l'aire du parallélogramme. Pour (3, 1) et (1, 2), le calcul donne 3 × 2 − 1 × 1 = 5, donc une aire de 5. Un résultat nul signale deux vecteurs colinéaires : le parallélogramme est aplati en un segment.
Avec un déterminant. Si deux côtés sont portés par les vecteurs (x, y) et (x', y'), le nombre xy' − yx' a pour valeur absolue l'aire du parallélogramme. Pour (3, 1) et (1, 2), le calcul donne 3 × 2 − 1 × 1 = 5, donc une aire de 5. Un résultat nul signale deux vecteurs colinéaires : le parallélogramme est aplati en un segment.
Il est multiplié par 8, pas par 2. Multiplier une seule colonne par a multiplie le déterminant par a ; les trois colonnes à la fois donnent a³, soit 2³ = 8. En taille n, det(aM) = a^n × det M. Échanger deux colonnes change seulement le signe, et ajouter à une colonne une combinaison des autres ne change rien.
Pas l'objet actuel. Dans les Disquisitiones arithmeticae, il emploie le mot pour ce qu'on appelle aujourd'hui le discriminant d'une forme quadratique binaire, un cas particulier du déterminant moderne. Cauchy fixe le sens actuel dans un article de synthèse de 1815, où il tient « déterminant » et « résultante » pour synonymes et montre que la transposée conserve le déterminant.