Application linéaire
Parce qu'elle ne respecte pas l'addition : f(1 + 1) = f(2) = 7, alors que f(1) + f(1) = 5 + 5 = 10. Une application linéaire vérifie f(x + y) = f(x) + f(y) et f(λx) = λf(x) ; elle envoie donc toujours 0 sur 0, ce que le + 3 empêche. La fonction g(x) = 2x, elle, est linéaire : 2(x + y) = 2x + 2y.
Parce qu'elle ne respecte pas l'addition : f(1 + 1) = f(2) = 7, alors que f(1) + f(1) = 5 + 5 = 10. Une application linéaire vérifie f(x + y) = f(x) + f(y) et f(λx) = λf(x) ; elle envoie donc toujours 0 sur 0, ce que le + 3 empêche. La fonction g(x) = 2x, elle, est linéaire : 2(x + y) = 2x + 2y.
À son noyau, l'ensemble des vecteurs envoyés sur 0 : f est injective si et seulement si Ker(f) est réduit au vecteur nul. Inutile de comparer f(x) et f(y) pour tous les couples, il suffit de résoudre f(x) = 0. La dérivation, sur les fonctions dérivables d'un intervalle, n'est pas injective : toutes les fonctions constantes ont une dérivée nulle.
Parce que la linéarité dépend du corps des scalaires. La conjugaison, qui envoie a + ib sur a − ib, respecte les sommes et commute avec les multiples réels : le conjugué de λz vaut λ fois le conjugué de z quand λ est réel. Avec λ = i, en revanche, le conjugué de i × z vaut −i fois le conjugué de z, et non i fois. La même application est ℝ-linéaire sans être ℂ-linéaire.