Sous-espace vectoriel
Parce qu'elle ne passe pas par l'origine : 0 ≠ 2 × 0 + 1, donc le vecteur nul (0 ; 0) n'en fait pas partie, alors que tout sous-espace vectoriel le contient. La droite y = 2x, elle, en est un : (1 ; 2) + (2 ; 4) = (3 ; 6) reste dessus, et 5 × (1 ; 2) = (5 ; 10) aussi. Elle est stable par somme et par produit par un nombre.
Parce qu'elle ne passe pas par l'origine : 0 ≠ 2 × 0 + 1, donc le vecteur nul (0 ; 0) n'en fait pas partie, alors que tout sous-espace vectoriel le contient. La droite y = 2x, elle, en est un : (1 ; 2) + (2 ; 4) = (3 ; 6) reste dessus, et 5 × (1 ; 2) = (5 ; 10) aussi. Elle est stable par somme et par produit par un nombre.
Seulement si l'un des deux est inclus dans l'autre. Sinon la réunion n'est pas stable par addition : dans le plan, (1 ; 0) est sur l'axe des abscisses et (0 ; 1) sur l'axe des ordonnées, mais leur somme (1 ; 1) n'est sur aucun des deux. L'intersection, elle, est toujours un sous-espace.
Seulement si le corps des scalaires est fini ; sur ℝ ou ℂ, jamais. La preuve tient en quelques lignes : si E est réunion de sous-espaces stricts E1, …, En, on prend u dans E1 seulement et v hors de E1 ; l'ensemble v + Ku évite E1 et rencontre chacun des autres en au plus un point, donc K compte au plus n − 1 éléments. Sur ℤ/2ℤ, le plan est bien réunion de ses trois droites.