Élimination de Gauss-Jordan
En transformant le tableau des coefficients ligne par ligne, avec trois opérations seulement : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre. Aucune ne change les solutions. Sur x − y + 2z = 5, 3x + 2y + z = 10 et 2x − 3y − 2z = −10, le tableau finit en 1 0 0 | 1, 0 1 0 | 2, 0 0 1 | 3 : x = 1, y = 2, z = 3.
En transformant le tableau des coefficients ligne par ligne, avec trois opérations seulement : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre. Aucune ne change les solutions. Sur x − y + 2z = 5, 3x + 2y + z = 10 et 2x − 3y − 2z = −10, le tableau finit en 1 0 0 | 1, 0 1 0 | 2, 0 0 1 | 3 : x = 1, y = 2, z = 3.
Quand un pivot tombe dans la dernière colonne, celle du second membre : une ligne se lit alors 0 = 1. Un même système de quatre équations à cinq inconnues, avec le second membre 3, −6, 0, 1, admet une infinité de solutions ; avec 3, −6, 0, 2, sa forme réduite contient la ligne 0 0 0 0 0 | 1 et il n'en a aucune.
Depuis au moins le Ier siècle : le huitième chapitre des Neuf Chapitres sur l'art mathématique, « Fang cheng », la disposition rectangulaire, expose la méthode en dix-huit exercices. Dans son commentaire de 263, Liu Hui l'attribue à Chang Ts'ang, chancelier du IIe siècle avant notre ère. Gauss ne la présente qu'en 1810, et Wilhelm Jordan, un géodésien, la diffuse en 1888.