Formule d'Euler
−1. La formule d'Euler affirme que e^(ix) = cos x + i sin x pour tout réel x, mesuré en radians. Pour x = π, le cosinus vaut −1 et le sinus 0 : il reste e^(iπ) = −1, ce qu'on écrit aussi e^(iπ) + 1 = 0, l'identité d'Euler. En faisant varier x, le point e^(ix) parcourt le cercle de rayon 1 du plan complexe.
−1. La formule d'Euler affirme que e^(ix) = cos x + i sin x pour tout réel x, mesuré en radians. Pour x = π, le cosinus vaut −1 et le sinus 0 : il reste e^(iπ) = −1, ce qu'on écrit aussi e^(iπ) + 1 = 0, l'identité d'Euler. En faisant varier x, le point e^(ix) parcourt le cercle de rayon 1 du plan complexe.
En multipliant deux exponentielles. Puisque e^(ia) × e^(ib) = e^(i(a + b)), le produit (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) vaut cos(a + b) + i sin(a + b). En développant puis en comparant les parties réelles, on lit cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b ; les parties imaginaires donnent le sinus. La formule d'Euler ramène la trigonométrie aux règles des puissances.
Roger Cotes, en 1714, sous la forme ln(cos x + i sin x) = ix, un logarithme plutôt qu'une exponentielle. Euler la publie sous sa forme actuelle en 1748, déduite de la formule de Moivre par des équivalents et des passages à la limite. Aucun des deux n'y voit un cercle : lire les complexes comme des points d'un plan ne viendra que cinquante ans plus tard, avec Caspar Wessel.