Fraction rationnelle
En factorisant le numérateur : X² − 1 = (X − 1)(X + 1), donc la fraction vaut X + 1. Rien n'est divisé par zéro, parce qu'aucune valeur n'est donnée à X : une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes formels, et la simplification se fait entre polynômes, comme on réduit 6/4 en 3/2 sans se demander ce que vaut 4.
En factorisant le numérateur : X² − 1 = (X − 1)(X + 1), donc la fraction vaut X + 1. Rien n'est divisé par zéro, parce qu'aucune valeur n'est donnée à X : une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes formels, et la simplification se fait entre polynômes, comme on réduit 6/4 en 3/2 sans se demander ce que vaut 4.
Parce que son degré est deg(P) − deg(Q), la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur : 1/X est de degré −1, et (X³ + 1)/(X² − 4) de degré 3 − 2 = 1. Le résultat ne dépend pas de l'écriture choisie, et le degré d'un produit reste la somme des degrés, comme pour les polynômes.
Parce qu'on peut l'ordonner en posant F ≤ G lorsque F(t) ≤ G(t) pour tout réel t assez grand : l'ordre obtenu est total, compatible avec l'addition et la multiplication par les positifs, et il contient une copie de ℝ. Or 0 < 1/X < 1, et pourtant n × (1/X) < 1 pour tout entier naturel n. Aucun multiple de 1/X ne dépasse 1 : c'est un infiniment petit devant les réels.