Base
Deux, pourvu qu'ils ne soient pas colinéaires. Avec i = (1 ; 0) et j = (0 ; 1), le vecteur u = (−2 ; 1) s'écrit −2i + j, et c'est la seule façon de l'écrire ainsi. Une base est une famille de vecteurs sur laquelle chaque vecteur se décompose d'une manière unique ; les coefficients sont ses coordonnées.
Deux, pourvu qu'ils ne soient pas colinéaires. Avec i = (1 ; 0) et j = (0 ; 1), le vecteur u = (−2 ; 1) s'écrit −2i + j, et c'est la seule façon de l'écrire ainsi. Une base est une famille de vecteurs sur laquelle chaque vecteur se décompose d'une manière unique ; les coefficients sont ses coordonnées.
En exprimant l'ancienne base dans la nouvelle, puis en substituant. Dans ℝ², e'1 = (1 ; 1) = e1 + e2 et e'2 = (1 ; −1) = e1 − e2, d'où e1 = (e'1 + e'2)/2 et e2 = (e'1 − e'2)/2. Un vecteur de coordonnées (λ1 ; λ2) dans la base canonique a donc pour coordonnées (λ1 + λ2)/2 et (λ1 − λ2)/2 dans la nouvelle base : (3 ; 1) devient (2 ; 1).
Oui, mais la preuve passe par le lemme de Zorn, et ce n'est pas un détail technique : Andreas Blass a montré en 1984 que, dans la théorie des ensembles ZF avec axiome de fondation, l'existence d'une base pour tout espace vectoriel équivaut à l'axiome du choix. Dès qu'une famille génératrice finie existe, en revanche, une base se construit sans lui.