Espace préhilbertien
L'absence d'une hypothèse : la complétude. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel, réel ou complexe, muni d'un produit scalaire, sans condition sur la dimension : les fonctions continues sur un segment, avec l'intégrale de f × g pour produit scalaire, en forment un. Quand la complétude est en plus vérifiée, l'espace prend le nom d'espace de Hilbert.
L'absence d'une hypothèse : la complétude. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel, réel ou complexe, muni d'un produit scalaire, sans condition sur la dimension : les fonctions continues sur un segment, avec l'intégrale de f × g pour produit scalaire, en forment un. Quand la complétude est en plus vérifiée, l'espace prend le nom d'espace de Hilbert.
À la règle du parallélogramme : ‖x + y‖² + ‖x − y‖² = 2‖x‖² + 2‖y‖². Toute norme issue d'un produit scalaire la vérifie, et le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan affirme la réciproque. Le produit scalaire se retrouve alors par polarisation : dans le cas réel, ⟨x, y⟩ = (‖x + y‖² − ‖x − y‖²) / 4.
Dans un espace préhilbertien complexe, oui : si ⟨a(x), x⟩ = 0 pour tout vecteur x, l'opérateur a est nul. Dans un espace réel, non : la rotation d'un quart de tour du plan envoie chaque vecteur sur un vecteur orthogonal sans être nulle. La preuve complexe remplace y par exp(iμ) y pour aligner deux arguments, un choix de phase qui n'a pas d'équivalent réel.