Théorème fondamental de l'analyse
Grâce au théorème fondamental de l'analyse : l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée est f. Pour x², la primitive x³/3 donne entre 0 et 1 : 1/3 − 0 = 1/3. Une somme infinie de rectangles se ramène à une soustraction de deux nombres.
Grâce au théorème fondamental de l'analyse : l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a), où F est une primitive de f, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée est f. Pour x², la primitive x³/3 donne entre 0 et 1 : 1/3 − 0 = 1/3. Une somme infinie de rectangles se ramène à une soustraction de deux nombres.
Parce que l'énoncé a deux sens. Le premier théorème dit que certaines fonctions sont « la dérivée de leur intégrale » : si f est continue, la fonction qui à x associe l'intégrale de f entre a et x a pour dérivée f. Le second dit que certaines sont « l'intégrale de leur dérivée » : l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). Certains ouvrages inversent la numérotation.
James Gregory, en 1668, sous une forme partielle et avec sa démonstration. Isaac Barrow en démontre une forme plus générale, et son élève Isaac Newton achève la théorie qui l'englobe ; Leibniz la systématise et fixe les notations encore en usage. L'importance du résultat tient moins au calcul des intégrales qu'à la découverte que calcul d'aires et calcul de vitesses sont liés.