Développement limité
En remplaçant la racine par un polynôme valable près de 1 : √(1 + x) = 1 + x/2 + o(x). Avec x = 0,02, cela donne 1,01, alors que la valeur exacte commence par 1,00995. C'est un développement limité d'ordre 1 : la courbe est confondue avec sa tangente, et l'erreur commise est négligeable devant x.
En remplaçant la racine par un polynôme valable près de 1 : √(1 + x) = 1 + x/2 + o(x). Avec x = 0,02, cela donne 1,01, alors que la valeur exacte commence par 1,00995. C'est un développement limité d'ordre 1 : la courbe est confondue avec sa tangente, et l'erreur commise est négligeable devant x.
La position de la courbe par rapport à sa tangente. Le développement d'ordre 1 donne la tangente ; celui d'ordre 2 remplace la courbe par une parabole, et le signe du coefficient de degré 2, s'il n'est pas nul, dit de quel côté de la tangente la courbe passe. Pour cos x = 1 − x²/2 + o(x³), le coefficient −1/2 place la courbe sous la tangente y = 1.
Non. La fonction x³ sin(1/x), prolongée par 0 en 0, y admet le développement limité 0 + o(x²), mais elle n'y a pas de dérivée seconde. L'existence d'un DL d'ordre 0 équivaut à la continuité, celle d'un DL d'ordre 1 à la dérivabilité, et l'équivalence s'arrête là : le théorème de Taylor-Young ne se lit que dans un sens.