Fonction convexe
À la corde : en joignant deux points quelconques de la courbe par un segment, ce segment reste entièrement au-dessus de la courbe. Vue d'en dessous, la courbe est en bosse. La fonction carré est convexe : la corde entre les points d'abscisses 1 et 3 passe par (2, 5), au-dessus du point (2, 4) de la parabole.
À la corde : en joignant deux points quelconques de la courbe par un segment, ce segment reste entièrement au-dessus de la courbe. Vue d'en dessous, la courbe est en bosse. La fonction carré est convexe : la corde entre les points d'abscisses 1 et 3 passe par (2, 5), au-dessus du point (2, 4) de la parabole.
La certitude qu'un creux est le fond : tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global. Ailleurs, un algorithme qui descend peut se coincer dans une cuvette secondaire. Le critère pratique : une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle, comme pour la fonction exponentielle ou x⁴.
Sur un intervalle ouvert, oui : elle y admet même une dérivée à gauche et une dérivée à droite en tout point, et n'est non dérivable qu'en un nombre au plus dénombrable de points. Aux bornes d'un intervalle fermé, non : la valeur f(a) peut dépasser la limite à droite. Et en dimension infinie, une forme linéaire non continue est convexe sans être continue.