Intégration par parties
En dérivant un facteur et en intégrant l'autre. On dérive x, qui devient 1, et on intègre cos x, qui devient sin x : l'intégrale de x cos x entre 0 et π/3 vaut [x sin x] moins l'intégrale de sin x, soit π√3/6 − 1/2. C'est l'intégration par parties, la règle de dérivation d'un produit lue à l'envers.
En dérivant un facteur et en intégrant l'autre. On dérive x, qui devient 1, et on intègre cos x, qui devient sin x : l'intégrale de x cos x entre 0 et π/3 vaut [x sin x] moins l'intégrale de sin x, soit π√3/6 − 1/2. C'est l'intégration par parties, la règle de dérivation d'un produit lue à l'envers.
Celui dont la dérivée simplifie le plus. Pour l'intégrale de x ln x entre 1 et 2, dériver ln x donne 1/x, qui s'annule contre la primitive x²/2, et le calcul aboutit à 2 ln 2 − 3/4. Dériver x à la place oblige à intégrer ln x, et l'intégrale obtenue est plus compliquée qu'au départ. Le moyen mnémotechnique ALPES fixe l'ordre : arc, logarithme, polynôme, exponentielle, sinus.
Le crochet [uv] devient une intégrale sur la frontière. Sur un ouvert borné Ω de bord Γ, la règle div(uV) = u div V + grad u · V et le théorème de la divergence donnent : l'intégrale de u div V sur Ω égale l'intégrale de u V · n sur Γ moins celle de grad u · V sur Ω. Avec V = grad u, c'est la première identité de Green.