Fonction monotone
Non, seulement croissante au sens large. Si x < y, on a bien E(x) ≤ E(y), mais jamais mieux : E(2,1) = E(2,9) = 2, la fonction est constante sur chaque intervalle [i, i + 1[. Strictement croissante exigerait E(x) < E(y) dès que x < y. Une fonction monotone n'est pas stricte exactement quand elle reste constante sur un intervalle non réduit à un point.
Non, seulement croissante au sens large. Si x < y, on a bien E(x) ≤ E(y), mais jamais mieux : E(2,1) = E(2,9) = 2, la fonction est constante sur chaque intervalle [i, i + 1[. Strictement croissante exigerait E(x) < E(y) dès que x < y. Une fonction monotone n'est pas stricte exactement quand elle reste constante sur un intervalle non réduit à un point.
Non. La fonction x³ a pour dérivée 3x², nulle en 0, et elle est pourtant strictement croissante sur ℝ. Le critère exact pour une fonction dérivable : f' ≥ 0 partout, et l'ensemble des points où f' s'annule ne contient aucun intervalle. La condition f' > 0 partout est suffisante, mais nullement nécessaire.
Au plus une infinité dénombrable : c'est le théorème de Froda, de 1929. Une fonction monotone possède en tout point des limites à gauche et à droite finies, ses seules discontinuités sont donc des sauts f(x⁺) − f(x⁻). Sur tout segment, la famille de ces sauts strictement positifs est sommable, donc au plus dénombrable : on peut les numéroter, jamais les épuiser.