Théorème des accroissements finis
Non. Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60 km/h, son compteur a indiqué au moins une fois exactement 60 km/h. C'est le théorème des accroissements finis : entre deux points d'une courbe dérivable, il existe toujours une tangente parallèle à la corde qui les joint. La pente moyenne est atteinte quelque part comme pente instantanée.
Non. Si un véhicule parcourt une distance à la vitesse moyenne de 60 km/h, son compteur a indiqué au moins une fois exactement 60 km/h. C'est le théorème des accroissements finis : entre deux points d'une courbe dérivable, il existe toujours une tangente parallèle à la corde qui les joint. La pente moyenne est atteinte quelque part comme pente instantanée.
Pas toujours. Le théorème garantit un point c où f'(c) égale la pente de la corde, mais il peut y en avoir plusieurs. Pour une fonction dérivable sur un intervalle, ce point est unique pour tous les couples a < b si, et seulement si, la fonction est strictement convexe ou strictement concave.
Parce qu'il n'existe pas de théorème de Rolle vectoriel. La fonction f(t) = e^(it), à valeurs complexes, vérifie f(0) = f(2π) alors que sa dérivée ne s'annule jamais sur [0, 2π]. Aucune tangente n'est parallèle à la corde. Il ne subsiste qu'une inégalité : ‖f(b) − f(a)‖ ≤ M(b − a) dès que ‖f'‖ ≤ M.