Continuité
À chaque nombre entier. Juste avant 2, la partie entière vaut encore 1 ; en 2, elle saute à 2. Sa courbe est un escalier, et chaque marche est une discontinuité. Les fonctions polynomiales, l'exponentielle, le logarithme ou la valeur absolue, elles, sont continues sur tout leur domaine : leur courbe se trace d'un seul trait.
À chaque nombre entier. Juste avant 2, la partie entière vaut encore 1 ; en 2, elle saute à 2. Sa courbe est un escalier, et chaque marche est une discontinuité. Les fonctions polynomiales, l'exponentielle, le logarithme ou la valeur absolue, elles, sont continues sur tout leur domaine : leur courbe se trace d'un seul trait.
Non. Le sens vrai est l'autre : dérivable en un point implique continue en ce point. La valeur absolue et la racine carrée sont continues en 0 sans y être dérivables. Autre piège : la fonction inverse x ↦ 1/x est bel et bien continue, car 0 n'appartient pas à son domaine, et parler de sa continuité en 0 n'a aucun sens.
Parce que pour lui, dans l'Introductio in analysin infinitorum, une fonction continue est donnée par une seule expression analytique. La fonction qui vaut x pour x négatif et x² pour x positif est continue au sens actuel, mais « mixte », donc discontinue, pour Euler. La définition moderne, par un écart rendu plus petit que toute valeur donnée, est celle de Bolzano, en 1816.