Théorème des valeurs intermédiaires
Oui, dès lors qu'il ne se téléporte pas. La 10e étape du Tour de France 2008 partait de Pau, à 200 m, pour arriver à Hautacam, à 1 520 m, après 156 km. L'altitude est une fonction continue du kilométrage : chaque altitude intermédiaire est atteinte au moins une fois. C'est le théorème des valeurs intermédiaires.
Oui, dès lors qu'il ne se téléporte pas. La 10e étape du Tour de France 2008 partait de Pau, à 200 m, pour arriver à Hautacam, à 1 520 m, après 156 km. L'altitude est une fonction continue du kilométrage : chaque altitude intermédiaire est atteinte au moins une fois. C'est le théorème des valeurs intermédiaires.
Pas forcément. C'est un intervalle, mais pas toujours celui-là. Le sinus sur [0, π] a pour image [0, 1], alors que [sin 0, sin π] se réduit à {0}. Le théorème garantit seulement que toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est atteinte ; rien n'interdit à la fonction d'aller plus loin entre les deux bornes.
Parce qu'il repose sur la complétude de ℝ. La fonction x ↦ x² − 2, de ℚ dans ℚ, est continue sur [0, 2], vaut −2 en 0 et 2 en 2, et aucun rationnel ne l'annule : √2 n'en est pas un. Les preuves utilisent la borne supérieure, chez Bolzano dès 1817, ou les fermés emboîtés pour la dichotomie. La rigueur complète attend la construction des réels, cinquante ans plus tard.