Série numérique
Exactement 1. Sur un segment de longueur 1, marquer 1/2, puis 1/4, puis 1/8 : il reste toujours autant de place que le morceau qu'on vient de marquer, et on n'atteint jamais le bout. La somme des n + 1 premiers termes vaut 1 − (1/2)^(n+1), qui tend vers 1. C'est une série convergente, et 1 est sa somme.
Exactement 1. Sur un segment de longueur 1, marquer 1/2, puis 1/4, puis 1/8 : il reste toujours autant de place que le morceau qu'on vient de marquer, et on n'atteint jamais le bout. La somme des n + 1 premiers termes vaut 1 − (1/2)^(n+1), qui tend vers 1. C'est une série convergente, et 1 est sa somme.
Non, et la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … est le contre-exemple de référence : ses termes tendent vers 0 et pourtant ses sommes partielles dépassent tout nombre. Nicole Oresme l'a établi dès le XIVe siècle. La somme des 1/k jusqu'à n vaut ln n + γ + o(1), où γ est la constante d'Euler : elle grandit comme un logarithme, lentement mais sans borne.
Par le procédé de sommation de Cesàro. Les sommes partielles de la série de Grandi valent 1, 0, 1, 0… et n'ont pas de limite ; leurs moyennes successives, 1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5…, tendent vers 1/2. Cesàro remplace la limite des sommes partielles par la limite de leurs moyennes, une convergence plus faible qui donne un sens à certaines séries divergentes.