Théorème de Bolzano-Weierstrass
Une partie d'elle-même. La suite (−1)^n vaut 1, −1, 1, −1… : elle reste entre −1 et 1 mais n'a pas de limite. Ses termes de rang pair, eux, valent tous 1 et forment une sous-suite convergente. Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que c'est toujours possible : toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.
Une partie d'elle-même. La suite (−1)^n vaut 1, −1, 1, −1… : elle reste entre −1 et 1 mais n'a pas de limite. Ses termes de rang pair, eux, valent tous 1 et forment une sous-suite convergente. Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que c'est toujours possible : toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.
En coupant en deux, sans fin. Une suite bornée tient dans un intervalle [m, M] ; une des moitiés contient une infinité de termes, on la garde et on recommence. Les bornes successives sont deux suites adjacentes, d'écart divisé par 2 à chaque étape, de limite commune l. Un terme pioché dans chaque intervalle donne une sous-suite qui tend vers l, par le théorème des gendarmes.
Dans un espace métrisable, oui. Un tel espace est compact au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue si, et seulement si, toute suite admet une sous-suite convergente, c'est-à-dire s'il est séquentiellement compact. Le sens difficile passe par la précompacité, puis par un sous-recouvrement dénombrable à la Lindelöf, ou par un nombre de Lebesgue du recouvrement.