Suite numérique
En partant d'un nombre quelconque, 1 par exemple, puis en remplaçant chaque valeur par la moyenne entre elle et 2 divisé par elle : 1, puis 1,5, puis 17/12 ≈ 1,4167, puis 577/408 ≈ 1,41422. Cette liste ordonnée de nombres est une suite, notée (uₙ), et son troisième terme après le départ donne déjà √2 = 1,41421… avec cinq décimales justes.
En partant d'un nombre quelconque, 1 par exemple, puis en remplaçant chaque valeur par la moyenne entre elle et 2 divisé par elle : 1, puis 1,5, puis 17/12 ≈ 1,4167, puis 577/408 ≈ 1,41422. Cette liste ordonnée de nombres est une suite, notée (uₙ), et son troisième terme après le départ donne déjà √2 = 1,41421… avec cinq décimales justes.
Non. Si elle est majorée par un nombre M, le théorème de la limite monotone garantit qu'elle converge, vers une limite inférieure ou égale à M. La suite 0, 1/2, 2/3, 3/4, … croît sans jamais atteindre 1, et tend vers 1. Seule une suite croissante non majorée tend vers +∞.
Dans ℝ, oui ; dans ℚ, non. La suite de Héron pour √2, partie de 1, n'a que des termes rationnels, et ses termes finissent par être aussi proches les uns des autres qu'on veut : c'est une suite de Cauchy. Sa limite, √2, n'est pourtant pas rationnelle. Un espace où toute suite de Cauchy converge est dit complet : ℝ l'est, ℚ ne l'est pas.