Partie entière
−3. La partie entière d'un réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x, et −3 est bien le dernier entier en dessous de −2,7. Effacer les décimales donne −2, mais c'est une autre opération, la troncature, qui ne coïncide avec la partie entière que pour les nombres positifs. Pour 2,7, les deux donnent 2.
−3. La partie entière d'un réel x est le plus grand entier inférieur ou égal à x, et −3 est bien le dernier entier en dessous de −2,7. Effacer les décimales donne −2, mais c'est une autre opération, la troncature, qui ne coïncide avec la partie entière que pour les nombres positifs. Pour 2,7, les deux donnent 2.
Pas toujours. Pour 0,6 et 0,7, les parties entières valent 0 et 0, mais celle de 1,3 vaut 1. L'égalité peut manquer d'une unité, jamais plus : ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1. Elle est exacte dès qu'un des deux nombres est entier : ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n pour tout entier n.
Par la formule dite de Sylvester, ou de Polezzi : pour a et b entiers strictement positifs, la somme des ⌊ka/b⌋ pour k allant de 0 à b − 1 vaut ((a − 1)(b − 1) + pgcd(a, b) − 1)/2. Elle s'inverse en pgcd(a, b) = a + b − ab + 2 × (cette somme). Pour a = 4 et b = 6, la somme vaut 0 + 0 + 1 + 2 + 2 + 3 = 8, et 4 + 6 − 24 + 16 donne bien 2.