Racine carrée
Par définition. La racine carrée d'un réel positif x est l'unique réel positif dont le carré vaut x. Le nombre −3 est bien une racine carrée de 9, mais la racine carrée de 9, notée √9, désigne toujours la solution positive. La règle générale s'écrit √(x²) = |x| : la racine efface le signe.
Par définition. La racine carrée d'un réel positif x est l'unique réel positif dont le carré vaut x. Le nombre −3 est bien une racine carrée de 9, mais la racine carrée de 9, notée √9, désigne toujours la solution positive. La règle générale s'écrit √(x²) = |x| : la racine efface le signe.
On aligne AO = 1 et OB = a, on trace le cercle de diamètre AB, puis la perpendiculaire à (AB) passant par O : elle coupe le cercle en H, et OH = √a. La preuve tient en une ligne : les triangles OAH et OHB sont semblables, donc OH² = AO × OB = a. La racine carrée d'un nombre constructible reste donc constructible.
Pas de façon continue. Tout complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées, mais il est impossible de choisir l'une d'elles pour chaque z en obtenant une fonction continue sur ℂ. La détermination principale, √r e^(iφ/2) avec −π < φ ≤ π, se brise le long des réels strictement négatifs, et la relation √(zz') = √z × √z' devient fausse en général.