Nombre réel
Le nombre n'est pas une fraction : il est irrationnel, comme √2, π ou e. Les rationnels, eux, ont des décimales qui finissent par se répéter : 3/41 = 0,0731707317… avec une période de 5 chiffres. Un réel, c'est un signe, une partie entière et une liste de décimales, finie ou infinie, périodique ou non.
Le nombre n'est pas une fraction : il est irrationnel, comme √2, π ou e. Les rationnels, eux, ont des décimales qui finissent par se répéter : 3/41 = 0,0731707317… avec une période de 5 chiffres. Un réel, c'est un signe, une partie entière et une liste de décimales, finie ou infinie, périodique ou non.
Parce que x = 0,999… vérifie 10x = 9 + x, dont l'unique solution est 1. Le nombre 1,000… est solution de la même équation : un même réel possède ici deux écritures décimales. C'est l'une des raisons pour lesquelles la définition par développement décimal, si simple d'apparence, est délaissée par les mathématiciens au profit de constructions plus abstraites.
Strictement plus que d'entiers. N, Z, Q et les nombres algébriques ont tous le cardinal aleph zéro, celui des ensembles dénombrables ; Cantor a montré par son argument diagonal que R ne l'est pas. Son cardinal, la puissance du continu, est celui des parties de N. Existe-t-il un infini intermédiaire ? La question est indécidable dans la théorie des ensembles usuelle.