Nombre irrationnel
Elles ne se répètent jamais. Un réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal n'est pas périodique : 1/3 = 0,333… et 22/7 = 3,142857142857… finissent par boucler, √2 ou π jamais. Le nombre 0,123456789101112…, formé des entiers écrits à la suite, est ainsi irrationnel : il contient des séries de zéros aussi longues qu'on veut, ce qu'aucune période ne permet.
Elles ne se répètent jamais. Un réel est irrationnel si et seulement si son développement décimal n'est pas périodique : 1/3 = 0,333… et 22/7 = 3,142857142857… finissent par boucler, √2 ou π jamais. Le nombre 0,123456789101112…, formé des entiers écrits à la suite, est ainsi irrationnel : il contient des séries de zéros aussi longues qu'on veut, ce qu'aucune période ne permet.
Tout devient pair. Avec a et b premiers entre eux, √2 = a/b donne 2b² = a² : a² est pair, donc a aussi, et a = 2k. Alors 2b² = 4k², soit b² = 2k² : b est pair à son tour. Les deux entiers sont pairs et ne sont donc pas premiers entre eux, contradiction. Ce raisonnement par l'absurde, fondé sur le pair et l'impair, est déjà cité par Aristote.
Non. On ignore si π + e et π − e sont irrationnels, tout comme 2^e, π^e, π^√2 ou la constante γ d'Euler-Mascheroni. Pour γ, on sait seulement que si elle était rationnelle, son dénominateur compterait au moins 242 080 chiffres. Presque tous les réels sont pourtant irrationnels : ce sont les cas particuliers qui résistent.