Nombre rationnel
Une infinité : 1/2 = 2/4 = 3/6 = … désignent le même nombre. Une seule de ces fractions est privilégiée, la fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, avec un dénominateur positif. Pour 1/2, 2/4 et 3/6, c'est 1/2.
Une infinité : 1/2 = 2/4 = 3/6 = … désignent le même nombre. Une seule de ces fractions est privilégiée, la fraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, avec un dénominateur positif. Pour 1/2, 2/4 et 3/6, c'est 1/2.
Son développement décimal est fini, comme 1/2 = 0,5, ou périodique à partir d'un certain rang : 3/105 = 0,0285 714285 714285… répète le bloc 714285 sans fin. La réciproque est vraie aussi, et dans n'importe quelle base. Un nombre comme 0,12 122 1222 12222…, dont les séquences de 2 s'allongent, n'a pas de période : il est irrationnel.
Non, et deux défauts précis le montrent. L'ensemble des rationnels x tels que x² < 2 est majoré mais n'a pas de plus petit majorant. Et la suite de Héron, qui part de 1 et remplace chaque terme x par x/2 + 1/x, est de Cauchy mais ne converge vers aucun rationnel. Combler ces trous, c'est construire les nombres réels.