Plus grand commun diviseur
En listant leurs diviseurs communs : 1, 2, 5 et 10. Le plus grand est 10, c'est le PGCD de 20 et 30. La liste est toujours finie, car un diviseur ne dépasse jamais le nombre qu'il divise, et jamais vide, car 1 divise tout. Un plus grand élément existe donc toujours.
En listant leurs diviseurs communs : 1, 2, 5 et 10. Le plus grand est 10, c'est le PGCD de 20 et 30. La liste est toujours finie, car un diviseur ne dépasse jamais le nombre qu'il divise, et jamais vide, car 1 divise tout. Un plus grand élément existe donc toujours.
Parce que la définition qui se généralise ne parle pas de taille mais de divisibilité : un PGCD de a et b est un diviseur commun d que tout autre diviseur commun divise. Tout diviseur commun à 6 et 9 divise 3, donc aussi −3. Pour les entiers, on retient par convention le PGCD positif, qui coïncide avec le plus grand au sens usuel, sauf dans le cas de PGCD(0, 0).
Pas dans tout anneau. Dans ℤ[i√3], les éléments 4 et 2 + 2i√3 admettent 2 et 1 + i√3 comme diviseurs communs, mais aucun élément divisible à la fois par 2 et par 1 + i√3 ne les divise tous les deux : ils n'ont pas de PGCD. L'existence est garantie dans les anneaux factoriels, et les anneaux où elle vaut pour tout couple s'appellent anneaux à PGCD.