Théorème de Bachet-Bézout
En retirant trois paquets de 12 à un paquet de 42 : 42 − 3 × 12 = 6. Le théorème de Bachet-Bézout garantit que c'est possible dès qu'on vise le PGCD : 6 est le plus grand diviseur commun de 12 et 42, donc il existe deux entiers relatifs x et y tels que 12x + 42y = 6, ici x = −3 et y = 1.
En retirant trois paquets de 12 à un paquet de 42 : 42 − 3 × 12 = 6. Le théorème de Bachet-Bézout garantit que c'est possible dès qu'on vise le PGCD : 6 est le plus grand diviseur commun de 12 et 42, donc il existe deux entiers relatifs x et y tels que 12x + 42y = 6, ici x = −3 et y = 1.
Une infinité. À partir de la solution (−3, 1), tous les couples (−3 − 7k, 1 + 2k), pour k entier relatif, conviennent : 7 est le quotient 42/6 et 2 le quotient 12/6. Ainsi (4, −1) et (−10, 3) sont aussi des solutions. Les démonstrations n'en fournissent qu'une, par l'algorithme d'Euclide étendu par exemple, mais elle en engendre une infinité d'autres.
Sa généralisation aux polynômes, au XVIIIe siècle. Pour les entiers, la première preuve connue est celle de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, dans la seconde édition de ses Problèmes plaisans et délectables, parue en 1624, à l'aide de l'algorithme d'Euclide. Bourbaki l'énonce ensuite sur un anneau principal quelconque, sous le seul nom de théorème de Bézout.