Conjecture de Goldbach
L'énoncé tient en une ligne : tout nombre pair supérieur à deux est la somme de deux nombres premiers. Quatre vaut deux plus deux, cent vaut trois plus quatre-vingt-dix-sept. Les ordinateurs l'ont confirmé pour tous les pairs jusqu'à quatre milliards de milliards. Mais vérifier n'est pas démontrer, et personne n'y est parvenu.
L'énoncé tient en une ligne : tout nombre pair supérieur à deux est la somme de deux nombres premiers. Quatre vaut deux plus deux, cent vaut trois plus quatre-vingt-dix-sept. Les ordinateurs l'ont confirmé pour tous les pairs jusqu'à quatre milliards de milliards. Mais vérifier n'est pas démontrer, et personne n'y est parvenu.
La conjecture se décline en deux formes. La forte concerne les nombres pairs et deux premiers ; la faible affirme que tout impair supérieur à cinq est somme de trois premiers. Vinogradov avait traité en 1937 tous les impairs assez grands, sans dire à partir de quand. Harald Helfgott a comblé l'intervalle restant en 2013. La forte, elle, tient toujours.
Parce que les contre-exemples arithmétiques savent se cacher très loin. Le nombre de façons d'écrire un pair comme somme de deux premiers croît en moyenne avec sa taille, ce qui rend un échec de plus en plus improbable, mais une improbabilité n'est pas une impossibilité.