Ensemble
Deux : {1, 2, 2, 1} = {1, 2}. Un ensemble est entièrement déterminé par ses éléments, sans ordre ni répétition : { 1, 2 } = { 2, 1 } et { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 }. Un objet appartient à un ensemble ou n'y appartient pas, il ne peut pas y être deux fois.
Deux : {1, 2, 2, 1} = {1, 2}. Un ensemble est entièrement déterminé par ses éléments, sans ordre ni répétition : { 1, 2 } = { 2, 1 } et { 1, 2, 2 } = { 1, 1, 1, 2 }. Un objet appartient à un ensemble ou n'y appartient pas, il ne peut pas y être deux fois.
Une contradiction. L'ensemble des x tels que x n'appartient pas à x conduit au paradoxe de Russell. La définition en compréhension n'est donc autorisée qu'à l'intérieur d'un ensemble E déjà construit, sous la forme {x ∈ E | P(x)} : c'est le schéma d'axiomes de compréhension de la théorie de Zermelo. Paire, réunion et ensemble des parties exigent chacun leur axiome.
De la lettre grecque epsilon, initiale de est : « x ε A » se lit chez Peano « x est un A », et « x ε N », « x est un entier positif ou nul ». Il l'introduit en 1889 dans son Arithmetices Principia, rédigé en latin. Russell reprend ses notations en 1903 dans les Principles of Mathematics, avec l'epsilon arrondi ϵ de l'édition anglo-saxonne, et l'ouvrage les diffuse.