Argument de la diagonale de Cantor
En essayant de dresser la liste complète des nombres à virgule compris entre 0 et 1, et en montrant qu'on échoue toujours. Georg Cantor a publié en 1891 une recette qui, à partir de n'importe quelle liste, fabrique un nombre qui n'y figure pas. Les entiers, eux, se listent sans peine : il y a donc plus de nombres à virgule que d'entiers.
En essayant de dresser la liste complète des nombres à virgule compris entre 0 et 1, et en montrant qu'on échoue toujours. Georg Cantor a publié en 1891 une recette qui, à partir de n'importe quelle liste, fabrique un nombre qui n'y figure pas. Les entiers, eux, se listent sans peine : il y a donc plus de nombres à virgule que d'entiers.
Elle lit la 1re décimale du 1er nombre de la liste, la 2e du 2e, la 3e du 3e, en descendant le long de la diagonale du tableau. Puis elle change chacun de ces chiffres. Le nombre obtenu diffère du n-ième nombre par sa n-ième décimale, donc de tous.
Les doubles écritures, comme 0,5 et 0,4999…, qui désignent le même nombre. Le nombre fabriqué pourrait être l'écriture cachée d'un nombre déjà listé sous son autre forme. On l'évite en n'utilisant que les chiffres 3 et 4, une précaution que des vulgarisateurs oublient.