Bijection
En attribuant à chaque touriste une chambre, sans chambre vide ni chambre partagée : c'est une bijection entre l'ensemble des touristes et celui des chambres. L'hôtelier veut toutes les chambres occupées, une surjection ; les touristes veulent chacun la leur, une injection. Les deux souhaits ne sont compatibles que s'il y a autant de touristes que de chambres.
En attribuant à chaque touriste une chambre, sans chambre vide ni chambre partagée : c'est une bijection entre l'ensemble des touristes et celui des chambres. L'hôtelier veut toutes les chambres occupées, une surjection ; les touristes veulent chacun la leur, une injection. Les deux souhaits ne sont compatibles que s'il y a autant de touristes que de chambres.
Sur [−π/2, π/2], entre autres. De R dans R, sinus n'est ni injective, puisque 0 et π ont la même image, ni surjective, puisque 2 n'est l'image de personne. Restreinte à [−π/2, π/2] et à valeurs dans [−1, 1], elle devient bijective, de réciproque arc sinus.
Une bijection. S'il existe une injection de E vers F et une injection de F vers E, sans qu'aucune soit surjective, E et F sont pourtant équipotents : Cantor l'a démontré le premier. C'est l'outil qui compare les infinis. N et Q ont ainsi la même taille, alors que de N vers R il existe des injections mais aucune surjection : R est strictement plus grand.