Quantificateur
Tout. « Pour tout entier n, il existe un entier m plus grand que n » est vrai : m = n + 1 convient. « Il existe un entier m plus grand que tout entier n » est faux : aucun entier ne dépasse tous les autres, et surtout pas lui-même. Les symboles ∀ (pour tout) et ∃ (il existe) s'appellent des quantificateurs, et leur alternance donne des formules bien distinctes.
Tout. « Pour tout entier n, il existe un entier m plus grand que n » est vrai : m = n + 1 convient. « Il existe un entier m plus grand que tout entier n » est faux : aucun entier ne dépasse tous les autres, et surtout pas lui-même. Les symboles ∀ (pour tout) et ∃ (il existe) s'appellent des quantificateurs, et leur alternance donne des formules bien distinctes.
En ajoutant l'égalité. Le symbole ∃! se définit à partir des deux quantificateurs de base : il existe un x vérifiant P, et tout y vérifiant P est égal à x. Le point d'exclamation n'est qu'une abréviation, mais elle est indispensable : un simple « il existe » signifie « il existe au moins un ».
De l'allemand alle, « tout ». Gerhard Gentzen l'introduit en 1933, dans un texte publié en 1934, comme All-Zeichen, « symbole pour tout », en renversant le A par analogie avec le ∃ qu'il tient de Russell, lequel l'avait emprunté à Peano. Peano employait ∃ dès 1897 dans son Formulaire de mathématiques, mais accolé au prédicat ; c'est Russell qui en fait un lieur de variable.