Application
Chaque élément de l'ensemble de départ envoie exactement une flèche : ni zéro, ni deux. Associer à chaque élève d'une classe sa ville de naissance est une application ; associer à chaque carte d'un jeu de 32 cartes sa couleur aussi. Deux élèves peuvent viser la même ville, mais aucun élève ne peut en avoir deux, et aucun ne peut rester sans ville.
Chaque élément de l'ensemble de départ envoie exactement une flèche : ni zéro, ni deux. Associer à chaque élève d'une classe sa ville de naissance est une application ; associer à chaque carte d'un jeu de 32 cartes sa couleur aussi. Deux élèves peuvent viser la même ville, mais aucun élève ne peut en avoir deux, et aucun ne peut rester sans ville.
Pas toujours. On peut seulement conclure que f est injective et g surjective. Exemple : f envoie {1} dans {1, 2} par 1 ↦ 1, et g envoie {1, 2} dans {1} par 1 ↦ 1 et 2 ↦ 1. La composée g∘f est l'identité de {1}, une bijection, alors que 2 n'a pas d'antécédent par f et que g colle 1 et 2 sur la même image.
Par le nombre de flèches. Dans les diagrammes sagittaux des programmes issus de la commission Lichnerowicz, une relation où chaque élément de départ envoie au plus une flèche est une fonction ; exactement une, c'est une application. La nuance vient d'un projet de rédaction de Bourbaki daté de 1954, et elle ne commence à quitter les manuels qu'à partir de 1985.